Тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні формули

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ та ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ відповідно.

Тригонометрична тотожність Піфагора

Піфагорова тригонометрична тотожність стверджує, що для довільного кута A:

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$

Цю тотожність називають також тригонометричною одиницею.

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}}={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}}$